CGuru yang terhormatPelajari matematika dasar sekolah menengah melalui pertanyaan matematika dasar dan diskusi tentang barisan dan deret geometri. Catatan ini untuk melengkapi catatan pelajaran kita tentang barisan dan deret matematika dasar. Kami membagi urutan dan seri menjadi tiga catatan, yaitu.matematika dasar barisan dan deret aritmatika,matematika dasar barisan dan deret aritmatikamimatematika dasar deret geometri tak terhingga.
Penerapan barisan dan deret geometri juga banyak dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya dapat dilihat pada soal-soal yang akan kita bahas. Mempelajari dan menggunakan aturan barisan dan deret geometri sangatlah mudah, jika Anda mengikuti langkah demi langkah yang kami jelaskan di bawah ini, Anda akan dengan mudah memahami masalah barisan dan deret geometri dan Anda akan menemukan solusinya.
Barisan dan deret merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari di SMP dan SD, bahkan dalam bentuk soal sejarah atau matematika realistik, soal barisan dan deret sudah dimasukkan ke dalam materi matematika untuk tingkat SD.
GARIS DAN RANGKAIAN NOMOR
Jumlah barisadalah urutan angka yang diurutkan menurut pola tertentu.
Sebagai simbol garis tunggal kita dapat menulis;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots,U_{n}$
$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Angka Kedua/Kuartal Kedua,
$U_{3}$ kita sebut bilangan ketiga/suku ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita memanggil bilangan ke-n/suku ke-n,
Penggunaan istilah First Term, Second Term, dst. lebih familiar dari istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk bilangan selanjutnya kita gunakan istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
seri numerikadalah jumlah dari suku-suku barisan tersebut.
Dalam simbol sederhana kita dapat menuliskan rangkaian angka;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$
Kami menyebut $S_{1}$ sebagai Jumlah suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut jumlah dari dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut jumlah dari tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut jumlah dari suku $n$ pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$
GARIS DAN SERI GEOMETRIS
Setelah memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang mari kita coba membahas tentang barisan dan deret bilangan geometri yang sering disebut barisan geometri saja. Urutan nomor dikatakanGaris Geometri ($BG$)jika rasio antara suku yang satu dengan suku sebelumnya sama.
Perbandingan antara satu suku dengan suku sebelumnya disebut $ratio$ ($r$).
Misalnya,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ (deret geometri dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}...$ (Garis geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
Pada suatu barisan geometri, jika suku pertamanya dilambangkan dengan $a$ dan rasionya adalah $r$, maka secara umum suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cpontos, ar^{n-1}$
Akan tetapi, jika barisan geometri kita tuliskan sebagai barisan geometri, maka penulisannya menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$
Dalam bentuk umum di atas kita dapatkan,
- lari=$r$
$r=\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{U_{3}}{U_{2}}=\dfrac{U_{7}}{U_{6}}$
$r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}$ - suku ke-n
$U_{n}=ar^{n-1}$ - Jumlah n suku pertama
$S_{n}=\dfrac{a \left (r^{n}-1 \right)}{r-1}$
$S_{n}=\dfrac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$ - Babak keempat terjadi untuk $n$ angka ganjil
$U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
PERTANYAAN DAN PEMBAHASAN GEOMETRI BARDER
Garis dan Deret Geometriuntuk beberapa buku, gunakan istilah dengan sebutanserangkaian tindakan. Untuk memahami barisan dan deret geometri tersebut, mari kita coba bahas beberapa contoh soal yang diujikan pada Ujian Nasional dan pada SBMPTN.
1. Soal Ujian Nasional 2007 |*pertanyaan lengkap
Bakteri $A$ berlipat ganda setiap lima menit. Dalam lima belas menit pertama, jumlah bakteri adalah $400. Sebagian besar bakteri dalam tiga puluh lima menit pertama adalah...
$\begin{align} (A)\ & 640\ \text{Bakteri} \\(B)\ & 3.200\ \text{Bakteri} \\(C)\ & 6.400\ \text{Bakteri} \\(D )\ & 12.800\ \text{bakteri} \\(E)\ & 32.000\ \text{bakteri} \end{align}$
Diskusi alternatif:
Dari keterangan di soal, dalam lima belas menit pertama jumlah bakterinya $400, jadi kita dapat $20 pertama di menit pertama bakterinya $800, $25 pertama di menit pertama bakterinya $1600$, yang pertama $30$ bakteri per menit berharga $3200$, dan bakteri $35$ per menit pertama berharga $6400$.
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(C)\ 6,400\ \text{bacteria}$
Alternatifnya, jika diminta nanti setelah $100$ jam pertama. Tentu saja cara di atas membutuhkan tenaga ekstra. Kita dapat menggunakan rumus yang ada sebagai berikut.
Bakteri tipe $A$ diketahui berukuran dua kali lipat setiap lima menit. Jadi jika kita mengasumsikan bahwa dalam lima menit pertama ada $a$, maka sepuluh menit pertama akan menjadi $2a$ dan lima belas menit pertama akan menjadi $4a$.
Diketahui juga bahwa dalam lima belas menit pertama jumlah bakteri adalah $400$, jadi $4a=400 \rightarrow a=100$.
Mengikuti pola sebelumnya, jumlah bakteri pada $35$ menit pertama sama dengan suku $7, yaitu:
$\begin{align} U_{n}\ &= ar^{n-1} \\U_{7}\ &= (100)(2)^{7-1} \\ &= (100)(2 )^{6} \\ &= (100) (64) = 6.400 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(C)\ 6,400\ \text{bacteria}$
2. Penerbitan SM-UNPAD tahun 2007
Seutas kawat sepanjang 124 cm dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek 4 cm, maka tali terpanjang adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 60\ cm\\(B)\ & 64\ cm\\(C)\ & 68\ cm\\ (D)\ & 72\ cm\\ (E)\ & 76\cm\end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Informasi yang dapat kita peroleh dari soal tersebut adalah bahwa panjang seluruh string yang dibagi menjadi 5 bagian adalah 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 bagian mengikuti pola Barisan Geometri, jika kita pisahkan dari panjang tali yang terpendek, menjadi,
$a,\ar,\ar^{2},\ar^{3},\ar^{4}$
garis di atas panjang string terkecil, katakanlah panjang $a$ adalah 4 dan jumlah baris adalah 124, maka kita dapat menuliskannya sebagai,
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\dfrac{the \left(r^{5}-1 \right)}{r-1}=124$
$\dfrac{4 \left (r^{5}-1 \right)}{r-1}=124$
$\dfrac{\left (r^{5}-1 \right)}{r-1}=31$
$\dfrac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\kiri(r^{3}+3r^{2}+7r+15 \kanan)\kiri(r-2 \kanan)=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$
Sepotong kawat terpanjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(B)\ 64\ cm$
3. SPMB 2004 Terbitan |*pertanyaan lengkap
Suku keempat barisan geometri sama dengan suku kedelapan barisan aritmetika. Kedua barisan memiliki suku pertama sama dengan 2. Jika perbandingan barisan geometri sama dengan selisih BA dan keduanya bilangan bulat, maka suku kelima barisan geometri dikurangi suku kesebelas BA sama dengan...
$\begin{alinear}
(A)\ & 2 \\(B)\ & 8 \\(C)\ & 10 \\(D)\ & 14 \\(E)\ & 16 \end{align}$
Diskusi alternatif:
$U_{4} [Barisan geometri]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita dapatkan,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ o $r=\frac{1}{2}$
Nilai bulat dari $r$ adalah salah satu yang memenuhi, $r=2$.
Nilai suku kelima barisan geometri dikurangi suku kesebelas BA adalah,
$\begin{alinear}
U_{5} [Barisan Geometri]-U_{11} [BA] &= ar^{4}(a+10b) \\&= (2)(2)^{4}(2+10(2 )) \\&= 32-22 \\&= 10
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(C)\ 10$
4. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*pertanyaan lengkap
Empat bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, dan bilangan ketiga ditambahkan ke bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan dengan 2, barisan geometri terbentuk. Selisih suku-suku suatu barisan aritmatika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 8 \\(B)\ & 20 \\(C)\ & 24 \\(D)\ & 30 \\(E)\ & 36 \end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Untuk soal ini ada materi gabungan antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi beberapa materi daribarisan aritmetikakita harus tahu;
Misalkan $BA$ dengan $b=2$ $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.
Garis geometris terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
menggunakan fitur khusus garis geometris, kita dapatkan
$\begin{alinear}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\a^{2}+4a +4 & = 2a^{2}+4a \\a^{2}-4 & =0 \\(a-2)(a+2) & =0 \\a=2\ & \text{atau} \a=-2
\end{alinear}$
Untuk $a=-2$ garisnya adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan garis geometris.
Untuk $a=2$ garisnya adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ adalah garis geometris sehingga jumlahnya adalah $30$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(D)\ 30$
5. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*pertanyaan lengkap
Diketahui suatu barisan geometri terdiri dari empat suku dengan perbandingan $\dfrac{1}{2}$ dan barisan aritmetika terdiri dari tiga suku dengan selisih $b$. Jumlah semua suku deret geometri dan jumlah semua suku deret aritmetika masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{15} \\(B)\ & \dfrac{2}{15} \\(C)\ & \dfrac{1}{5} \ \(D)\ & \dfrac{1}{3} \\(E)\ & \dfrac{8}{15} \end{align}$
Diskusi alternatif:
Untuk soal ini ada materi gabungan antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi beberapa materi daribarisan aritmetikakita harus tahu;
Misalnya: Suksesi geometris dengan $r=\dfrac{1}{2}$ adalah $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1 }{ 8}a$.
$\begin{alinear}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8} a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\15a & = 8 \\ a & = \dfrac{8}{15}
\end{alinear}$
Sea $BA$ jadi $b=b$ es $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{alinear}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\3u_{1} & = 1 \\u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{alinear}$
Karena barisan geometri $u_{1}$ sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{alinear}
u_{1}+b & = a \\\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1} {3} \\& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(C)\ \dfrac{1}{5}$
6. Soal ujian masuk 2018 kode 408 |*pertanyaan lengkap
Jika $-2,\a+3,\a-1$ membentuk barisan geometri, maka jumlah dari $11$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{alinear}(A)\ & -2 \\(B)\ & -1 \\(C)\ & 0 \\(D)\ & 1 \\(E)\ & 2\end{alinear ps
Diskusi alternatif:
Dari Garis Geometri $-2,\a+3,\a-1$ kita dapatkan;
$\begin{alinear}
u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\(a+3)^{2} & = -2 \cdot (a-1) \\a^{2}+ 6a+9 & = -2a+2 \\a^{2}+8a+7 & = 0 \\(a+1)(a+7) & = 0 \\(a+1)=0\ & \ texto{atau}\ (a+7)=0 \\a=-1\ & \text{atau}\ a=-7
\end{alinear}$
Untuk $a=-1$ maka Deret Geometri: $-2,\ 2,\ -2,\ \cdots$
Jumlah $11$ adalah suku pertama
$\begin{alinear}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((-1)^ {11}-1 \kanan )}{-1-1} \\& = \dfrac{-2 \kiri (-1-1 \kanan )}{-1-1} \\& = \dfrac{4} {-2} \\& = -2
\end{alinear}$
Untuk $a=-7$ maka Deret Geometri: $-2,\ -4,\ -8,\ \cdots$
Jumlah $11$ adalah suku pertama
$\begin{alinear}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((2)^{ 11}-1 \right )}{-1-1} \\& = \dfrac{-2 \left (2^{11}-1 \right )}{-2} \\& = 2^{11} -1
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(A)\ -2$
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 417 |*pertanyaan lengkap
Diberi garis geometris $u_{n}$, dengan $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2 ps Nilai yang mungkin dari $4$ pada kuartal pertama adalah...
$\begin{alinear}(A)\ & -2 \\(B)\ & -1 \\(C)\ & 5 \\(D)\ & 10 \\(E)\ & 15\end{alinear ps
Diskusi alternatif:
Dari garis geometris yang memenuhi $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$ kita peroleh;
$\begin{alinear}
u_{3}+u_{4} & = 4(u_{1}+u_{2}) \\ar^{2}+ar^{3} & = 4(a+ar) \\ar^{2 }+ar^{3} & = 4a+4ar \\r^{2}+r^{3} & = 4+4r \\r^{3}+r^{2}-4r-4 & = 0 \\(r+1)(r+2)(r-2) & = 0 \\r=-1,\ r=-2,\ & \text{atau}\ r=2 \\\end{alinhar ps
$\begin{alinear}
u_{1}u_{4} & = 4u_{2} \\a \cdot ar^{3} & = 4(ar) \\a \cdot ar^{3} & = 4ar \\ar^{2} & = 4
\end{alinear}$
Untuk $r=-1$ lalu $a=4$ Deret geometri: $4,\ -4,\ 4,\ -4,\ \cdots$
Untuk $r=-2$ lalu $a=1$ Deret geometri: $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ \cdots$
Untuk $r=2$ lalu $a=1$ Deret geometri: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots$
Banyaknya suku pertama yang mungkin dari $4$ adalah: $0$, $-5$ atau $15$
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(E)\ 15$
8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*pertanyaan lengkap
Rasio suku keenam dengan suku pertama barisan geometri adalah $\dfrac{1}{32}$. Jika jumlah suku ketiga dan keempat adalah $15$, maka jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{alinear}
(A)\ & 30 \\(B)\ & 40 \\(C)\ & 50 \\(D)\ & 60 \\(E)\ & 70
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Dari Garis Geometris yang disajikan pada soal, kita dapat memperoleh;
$\begin{alinear}
\dfrac{u_{6}}{u_{1}} & = \dfrac{1}{32} \\\dfrac{ar^{5}}{a} & = \left( \dfrac{1}{2 } \kanan)^{5} \\r^{5} & = \kiri( \dfrac{1}{2} \kanan)^{5} \\r & = \dfrac{1}{2} \\ u_{3}+u_{4} & = 15 \\ar^{2}+ar^{3} & = 15 \\\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{8}a & = 15 \\\dfrac{3}{8}a & = 15 \\a & = \dfrac{120}{3}=40
\end{alinear}$
Garis geometrisnya adalah $40,\ 20,\ 10,\ 5, \cdots$ dan jumlah dari $3$ kuartal pertama dari garis tersebut adalah $70$.
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(E)\ 70$
9. Kode Soal UM UGM 2014 522 |*pertanyaan lengkap
Jika tiga bilangan $x,y,\ \text{e}\ z$ membentuk garis geometri, maka $\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z}=\cdots$
$\begin{alinear}
(A)\ & \dfrac{1}{x} \\(B)\ & -\dfrac{1}{y} \\(C)\ & \dfrac{1}{z} \\(D)\ & \dfrac{1}{x+z} \\(E)\ & \dfrac{1}{x-z}
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Tiga bilangan $x,y,z$ membentuk garis geometris, sehingga terjadi:
$\begin{alinear}
U_{2}^{2} &= U_{3} \cdot U_{1} \\y^{2} &= z \cdot x \\\hlínea
\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z} &= \dfrac{(y-z)-(x-y)}{(x-y)(y-z)} \\&= \dfrac{2y-x-z}{ xy-xz-y^{2}+yz} \\&= \dfrac{2y-x-z}{xy-y^{2}-y^{2}+yz} \\&= \dfrac{2y-x-z {xy-2y^{2}+yz} \\&= \dfrac{2y-x-z}{ y(x -2y + z)} \\&= \dfrac{2y-x-z}{-y(2y- x-z )} \\&= \dfrac{1}{-y}
\end{alinear} $
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(B)\ -\dfrac{1}{y}$
10. UMB-PT Tahun 2014 Kode Pertanyaan 522 |*pertanyaan lengkap
Suku ke-n dari barisan geometri adalah $u_{n}$. Jika $u_{1}+u_{2}=\dfrac{9}{2}$ dan ${}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{ }^3\!\log u_{3}=3$, jadi $u_{n}=\cdots$
$\begin{alinear}
(A)\ & \dfrac{3}{4}2^{n-1} \\(B)\ & \dfrac{3}{4}2^{n } \\(C)\ & \dfrac{ 3}{4}2^{n+1} \\(D)\ & \dfrac{3}{4}3^{n-1} \\(E)\ & \dfrac{3}{4}3 ^{n}
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Deret geometri $a, udara, udara^{2}, \cdots, udara^{n-1}$
$\begin{alinear}
u_{1}+u_{2} &= \dfrac{9}{2} \\a+ar &= \dfrac{9}{2}
\end{alinear}$
$\begin{alinear}
{}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3} &= 3 \\{}^3\!\ log \left( u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\{}^3\!\log \left ( a \cdot ar \cdot ar^{2} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\{}^3\!\log \left( ar \right)^{3 } &= {}^3\!\log 3^{3} \\ar &= 3 \\\hlínea
a+ar &= \dfrac{9}{2} \\a+3 &= \dfrac{9}{2} \\a &= \dfrac{9}{2} -3 \\a &= \dfrac {3}{2} \\r &= 2
\end{alinear}$
$\begin{alinear}
u_{n} &= ar^{n-1} \\&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n-1} \\&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^ {n} \cdot 2^{-1} \\&= \dfrac{3}{4} \cdot 2^{n }
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}2^{n }$
11. Kode Soal SBMPTN 2014 631 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa $p,\ x,\ y$ adalah bilangan real dengan $x\gt 0$. Jika $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$ membentuk barisan geometri, maka $p^{6}x^{-3}=\cdots$
$\begin{alinear}
(A)\ & 125 \\(B)\ & 50 \\(C)\ & 25 \\(D)\ & 7 \\(E)\ & 5
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Sifat khusus dari garis geometri yang kita gunakan untuk menyelesaikan soal di atas adalah $U_{2}^{2}=U_{1} \cdot U_{3}$ atau $U_{3}^{2}=U_{ 2 } \ cdot U_{4}$. Jadi, untuk baris $p,\x,\y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$, terjadi:
$\begin{alinear}
U_{2}^{2} &= U_{1} \cdot U_{3} \\x^{2} &= py \\y &= \dfrac{x^{2}}{p} \\\ hline
U_{3}^{2} &= U_{2} \cdot U_{4} \\y^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{2} \cdot x \\\left( \dfrac{x^{2}}{p} \right) ^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\\dfrac{x^{4}}{p^{2 }} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\\dfrac{x^{4}}{\dfrac{1}{5}x^{3}} &= p^{2} \\5x &= p^{2} \\p^{2} x^{-1} &= 5 \\\esquerda( p^{2} x^{-1} \direita)^3 &= 5 ^{3} \\p^{6} x^{-3} &= 125
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(A)\ 125$
12. Kode Soal SBMPTN 2014 622 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa $u_{1}+u_{2}+\cdots$ adalah deret geometri dengan $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=x^{2}$, dan $u_{6}=8$, maka nilai dari $u_{7}$ adalah...
$\begin{alinear}
(A)\ & 4 \\(B)\ & 9 \\(C)\ & 16 \\(D)\ & 27 \\(E)\ & 32
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Dari geometri $a+ar+ar^{2}+ \cdots+ ar^{n-1}$, da $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=ar^{4 } =x^{2}$ y $u_{6}=ar^{5}=8$ anak:
$\begin{matriz}{c|c|cc}
a = x^{-2} & ar^{5} = 8 \\ar^{4} = x^{2} & x^{-2} \cdot x^{5} = 8 \\x^{ -2} \cdot r^{4} = x^{2} & x^{3} = 8 \\r^{4} = x^{2} \cdot x^{2} & x = 2 =r \\r^{4} = x^{4} & U_{7} = U_{6} \cdot r \\r = x & U_{7} = 8 \cdot 2 =16 \\\end{matriz} ps
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(C)\ 16$
13. SIMAK UI 2013 Kode soal 333 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa bilangan $a,\b,\c$ membentuk garis geometris. Angka $a,\b,\c-2$ membentuk garis aritmatika dan angka $a,\b+2,\c+10$ membentuk garis geometris. Jumlah semua nilai yang mungkin dari $b$ adalah...
$\begin{alinear}
(A)\ & \dfrac{14}{9} \\(B)\ & \dfrac{20}{9} \\(C)\ & \dfrac{32}{9} \\(D)\ & \dfrac{40}{9} \\(E)\ & \dfrac{80}{9}
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Untuk soal ini ada materi gabungan antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi beberapa materi daribarisan aritmetikakita harus tahu;
- Dari deret geometri $a,\ b,\ c$ diperoleh $b^{2}=ac\ \cdots \text{pers.(1)}$
- Dari deret aritmatika $a,\b,\c-2$ diperoleh $2b=a+c-2\ \cdots \text{pers.(2)}$
- Dari deret geometri $a,\ b+2,\ c+10$ diperoleh $(b+2)^{2}=a(c+10)\ \cdots \text{pers.(3)}$
Jika kita mengganti $\text{pers.}(1)$ dan $(2)$ dengan $\text{pers.}(3)$, kita mendapatkan:
$\begin{alinear}
(b+2)^{2} & = a(c+10) \\b^{2}+4b+4 & = a c+10a \\ac+2(a+c-2)+4 & = a c+10a \\2 a+2c-4+4 & = 10a \\a+ c & = 5a \\c & = 4a\ \cdots\ \text{pers.(4)} \\2b & = a+ c -2 \\2b & = a+ 4a-2 \\2b+2 & = 5a \\a & = \dfrac{2b+2}{5}\ \cdots \text{pers.(5)}
\end{alinear}$
Kami mengganti $\text{pers.}(4)$ dan $(5)$ dengan $\text{pers.}(1)$, sehingga kami memperoleh:
$\begin{alinear}
b^{2} & = ac \\b^{2} & = a \kiri( 4a \kanan) \\b^{2} & = 4a^{2} \\b^{2} & = 4\ izquierda( \dfrac{2b+2}{5} \right)^{2} \\b^{2} & = 4\left( \dfrac{4b^{2}+8b+4}{25} \right ) \\25b^{2} & = 16b^{2}+32b+16 \\9b^{2}-32b-16 & = 0
\end{alinear}$
Jumlah dari semua kemungkinan nilai $b$ adalah $b_{1}+b_{2}=-\dfrac{-32}{9}=\dfrac{32}{9}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(C)\ \dfrac{32}{9}$
14. SIMAK UI 2013 Kode soal 331 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa $n$ adalah bilangan asli. Misalkan $S(n)$ mewakili jumlah dari setiap digit $n$ (misalnya: $n=1234$. $S(1234)=1+2+3+4=10$), maka nilai dari $ S\left( S(n) \right)$ yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$ adalah...
$\begin{alinear}
(1)\ & 2 \\(2)\ & 5 \\(3)\ & 8 \\(4)\ & 20
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Untuk pertanyaan ini saya tidak mau menulis rencana karena tidak disertakanbarisan aritmetikaHaigaris geometris. Tetapi karena itu termasuk kategoriSANGAT PANASkami tampilkan dalam deret aritmetika dan geometri;
Dari persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$;
- $n \gt S(n) \gt S\left( S(n) \right)$, berdasarkan pertidaksamaan ini untuk mendapatkan jumlah $2013$, maka $n$ adalah angka $4$ dan kurang dari $2013$
- Jika $1000 \leq n \leq 1999$, maka $S(n)_{max}=S(1999)=1+9+9+9=28$ dan $S \left( S(n) \right)_ {máx.}=S(28)=2+8=10$
n+S(n)+Cuadrado( S(n) \straight) & \leq n + 28 +10 \\2013 & \leq n + 38 \\2013-38 & \leq n \\1975 & \leq n \ \1975 & \leqn\lt
\end{alinear}$
Mulai dari nilai threshold $n$ diatas, kita coba test nilai $n$;
| BUKTI NILAI | |||
|---|---|---|---|
| $n$ | $S(n)$ | $S \kiri( S(n) \kanan)$ | $n+S(n)+S\kiri( S(n)\kanan)$ |
| $1975$ | $1+9+7+5=22$ | $2+2=4$ | $1975+22+4=2001$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $1979$ | $1+9+7+9=26$ | $2+6=8$ | $1979+26+8=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $1985$ | $1+9+8+5=23$ | $2+3=5$ | $1985+23+5=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $1991$ | $1+9+9+1=20$ | $2+0=2$ | $1991+20+2=$2013 |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $2,003$ | $2+0+0+3=5$ | $5=5$ | $2003+5+5=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(A)\ (1)\ (2)\ (3)$
15. Kode Soal SBMPTN 2013 127 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa $a,\b,\ \text{e}\c$ adalah suku ke-2, ke-3 dan ke-4 dari suatu garis geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac} {2b +3 }=1$, jadi nilai dari $b$ adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 1 \\(B)\ & 2 \\(C)\ & \dfrac{5}{2} \\(D)\ & 3 \\(E)\ & \dfrac{7}{2} \end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Garis $a,\ b,\ \text{e}\ c$ adalah garis geometris, jadi:
$\begin{alinear}
b^{2} &= ac \\\dfrac{ac}{2b+3} &= 1 \\ac &= 2b+3 \\\hlínea
b^{2} &= 2b+3 \\b^{2}-2b-3 &= 0 \\(b-3)(b+1) &= 0 \\b=3\ \ b=-1 &
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(D)\ 3$
16. Kode Soal SBMPTN 2013 124 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa $a,\b,\ \text{e}\c$ adalah suku ke-2, ke-3 dan ke-4 dari suatu garis geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac} {b +2 }=1$, jadi nilai dari $b$ adalah...
$\begin{alinear}
(A)\ & 1 \\(B)\ & 2 \\(C)\ & \dfrac{5}{2} \\(D)\ & 3 \\(E)\ & \dfrac{7}{ 2}
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Garis $a,\ b,\ \text{e}\ c$ adalah garis geometris, jadi:
$\begin{alinear}
b^{2} &= ac \\\dfrac{ac}{b+2} &= 1 \\ac &= b+2 \\\hlinha
b^{2} &= b+2 \\b^{2}- b-2 &= 0 \\(b-2)(b+1) &= 0 \\b=2\ \ b=-1 &
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(B)\ 2$
17. Kode Soal SBMPTN 2013 121 |*pertanyaan lengkap
Hasil kali $5$ dari suku pertama suatu barisan geometri adalah $32$. Jika jumlah suku ketiga dan keempat dari barisan tersebut adalah $6$, maka suku keenam dari barisan tersebut adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & \dfrac{1}{8} \\(B)\ & 2 \\(C)\ & 3 \\(D)\ & 8 \\(E)\ & 16 \end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Produk dari $5$ pada kuartal pertama deret geometri adalah $32, jadi ternyata:
$\begin{alinear}
a \cdot ar \cdot ar^{2} \cdot ar^{3} \cdot ar^{4} &= 32 \\a^{5}r^{10} &= 32 \\\left( a r^ {2} \kanan)^{5} &= 2^{5} \\a r^{2} &= 2 \\\hlínea
U_{3}+U_{4} &= 6 \\ar^{2}+ar^{3} &= 6 \\ar^{2}(1+r) &= 6 \\2(1+r ) &= 6 \\r &= 2 \\\hlina
a r^{2} &= 2 \\a (4) &= 2 \\a &= \dfrac{1}{2} \\U_{6} &= a r^{5} \\&= \dfrac{ 1}{2} \cdot (2)^{5} \\&= (2)^{4}=16
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(E)\ 16$
18. Kode SNMPTN 2012 223 |*pertanyaan lengkap
Jika $a$ adalah suku pertama, $r$ adalah rasio, dan $S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ adalah jumlah dari $n$ suku pertama deret geometri, maka nilai $a+r$ adalah..
$\begin{alinear}
(A)\ & 4 \\(B)\ & 5 \\(C)\ & 6 \\(D)\ & 7 \\(E)\ & 8
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
$S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ adalah jumlah dari $n$ suku pertama deret geometri, sehingga:
$\begin{alinear}
S_{1} &= 3 \kiri( 2^{(1)+1}-2 \kanan) \\U_{1} &= 6 \\\hlínea
S_{2} &= 3 \kiri( 2^{(2)+1}-2 \kanan) \\U_{1}+U_{2} &= 18 \\U_{2} &= 12 \\\ hline
S_{3} &= 3 \kiri( 2^{(3)+1}-2 \kanan) \\U_{1}+U_{2}+U_{3} &= 42 \\U_{3} & = 24 \\\hlínea
r &= \dfrac{12}{6}=2 \\a+r &= 6+2 \\&= 8
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(E)\ 8$
19. Kode SNMPTN 2012 122 |*pertanyaan lengkap
Tiga bilangan positif membentuk deret aritmatika dengan selisih $6$. Jika angka terbesar ditambahkan ke $12$, barisan geometri diperoleh. Jumlah dari ketiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{alinear}
(A)\ & 26 \\(B)\ & 27 \\(C)\ & 28 \\(D)\ & 29 \\(E)\ & 30
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Tiga bilangan positif membentuk barisan aritmatika dengan selisih $6$, misalnya bilangan tersebut adalah $a,\a+6,\a+12$ dan jika $a+12+12$ barisnya adalah $a,\a+ 6 ,\a+ 12+12$ adalah garis geometris, maka:
$\begin{alinear}
(a+6)^{2} &= a(a+12+12) \\a^{2}+12a+36 &= a^{2}+24a \\12a+36-24a &= 0 \ \-12a &= -36 \\a &= 3
\end{alinear}$
jumlah seluruhnya adalah
$\begin{alinear}
a+a+6+a+12 &= 3a+18 \\&= 3(2)+18 \\ &= 27
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(B)\ 27$
20. SNMPTN 2011 Keluarkan Kode 171 |*pertanyaan lengkap
Tiga bilangan positif membentuk deret aritmatika dengan selisih $16$. Jika angka terkecil ditambahkan ke $7$ dan angka terbesar ditambahkan ke $2$, diperoleh barisan geometri. Jumlah dari ketiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{alinear}
(A)\ & 56 \\(B)\ & 54 \\(C)\ & 52 \\(D)\ & 50 \\(E)\ & 48
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Tiga bilangan positif membentuk barisan aritmatika dengan selisih $16$, misalnya bilangan tersebut adalah $a,\a+16,\a+32$ dan barisan tersebut berubah menjadi $a+7,\a+16,\a+ 32 +2$ adalah deret geometri sehingga:
$\begin{alinear}
(a+16)^{2} &= (a+7)(a+34) \\a^{2}+32a+256 &= a^{2}+41a+238 \\32a-41a+256 -238 &= 0 \\-9a+18 &= 0 \\-9a &= -18 \\a &= 2
\end{alinear}$
Jumlah seluruhnya adalah:
$\begin{alinear}
a+a+16+a+32 &= 3a+48 \\&= 3(2)+48 \\&= 54
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(B)\ 54$
21. Kode Soal SNMPTN 2011 854 |*pertanyaan lengkap
Jika $a,\b,\c,\d,\e$ membentuk garis geometris dan $a \times b \times c \times d \times e=128$, maka di antara lima perempat garis tersebut adalah ditentukan nilainya keempat...
$\begin{align} (A)\ & \text{pertama} \\(B)\ & \text{kedua} \\(C)\ & \text{ketiga} \\(D)\ & \text{ keempat} \\(E)\ & \text{kelima} \end{align}$
Diskusi alternatif:
Lima bilangan membentuk deret geometri sedemikian rupa sehingga:
$\begin{alinear}
a \times b \times c \times d \times e &= 128 \\a \times ar \times ar^{2} \times ar^{3} \times ar^{4} &= 128 \\a^ {5}r^{10} &= 128 \\\kiri( a r^{2} \kanan)^{5} &= 128 \\a r^{2} &= \sqrt[5]{128} \\ U_{3} &= \raíz cuadrada[5]{128}
\end{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(C)\ third$
22. Soal UNBK IPA Matematika 2019 |*pertanyaan lengkap
Seorang peneliti mengamati bakteri tertentu. Setiap $\dfrac{1}{2}$ hari bakteri membelah menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat $2 bakteri. Jika $\dfrac{1}{4}$ bakteri mati setiap $2$ hari, jumlah bakteri setelah tiga hari adalah...
$\begin{align} (A)\ & 48\ \text{Bakteri} \\(B)\ & 64\ \text{Bakteri} \\(C)\ & 96\ \text{Bakteri} \\(D )\ & 128\ \text{bakteri} \\(E)\ & 192\ \text{bakteri} \end{align}$
Diskusi alternatif:
Pertumbuhan bakteri yang diamati pada masalah sebelumnya menggunakankonsep deret geometridengan $r=2$. Untuk menyelesaikan soal di atas, Anda dapat menggunakan rumus suku ke-n dari barisan geometri, yaitu $U_{n}=ar^{n-1}$.
Tetapi karena kami membutuhkan banyak bakteri dalam tiga hari, kami melakukannya secara manual;
- Hari pertama: $2 \rightarrow 4 \rightarrow $8
- Hari kedua: $8 \rightarrow 16 \rightarrow $32
Bakteri mati $\dfrac{1}{4}$, menyisakan $32-8=24$ - Hari ketiga: $24 \rightarrow 48 \rightarrow $96
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(C)\ 96$
23. Soal UNBK Matematika IPS SMA 2019 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa suku ke-3 dan suku ke-6 dari deret geometri berturut-turut adalah $12$ dan $96. Rumus untuk suku $n$ dari baris tersebut adalah...
$ \begin{alinear}
(A)\ & U_{n}=6 \cdot 2^{n+1} \\(B)\ & U_{n}=6 \cdot 2^{n} \\(C)\ & U_{n }=3 \cdot 2^{n} \\(D)\ & U_{n}=3 \cdot 2^{n-1} \\(E)\ & U_{n}= 2^{n-1 }
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Kita tahu bahwa suku $n$ dari barisan geometri adalah $U_{n}=a \cdot r^{n-1}$.
Masalahnya adalah suku ketiga dalam deret aritmatika adalah $12$, jadi $U_{3}=a \cdot r^{3-1}$ atau $12 =a r^{2}$.
Kuartal keenam adalah $96$ sampai $U_{6}=a \cdot r^{6-1}$ atau $96 =a r^{5}$ terjadi.
Dari dua persamaan sebelumnya kita bisa menentukan nilai $a$ dan $r$;
$\begin{alinear}
ar^{5} =\ & ar^{2} \cdot r^{3} \\96 =\ & 12 \cdot r^{3} \\\dfrac{96}{12} =\ & r^{ 3} \\8 =\ & r^{3} \\2 =\ & r \\\hline
ar^{2} =\ & 12 \\a(4) =\ & 12 \\a =\ & 3 \\\hline
U_{n}=\ & a \cdot r^{n-1} \\
U_{n}=\ & 3 \cdot 2^{n-1}
\end{alinear} $
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(D)\ U_{n}=3 \cdot 2^{n-1}$
24. Soal UNBK Matematika IPS SMA 2019 |*pertanyaan lengkap
Modal $Rp. 2.000.000,00 disimpan di bank dengan tingkat bunga majemuk $2% per tahun. Jumlah uang pokok pada akhir tahun kedua adalah...
$ \begin{align} (A)\ & Rp2.040.000,00 \\(B)\ & Rp2.040.400,00 \\(C)\ & Rp2.080.000,00 \\(D)\ & Rp2.080.800 ,00 \\(E)\ & Rp2.122.400,00
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Dengan modal $Rp. $2.000.000,00 disimpan di bank dengan tingkat bunga majemuk $2\% $ per tahun, pokok pada akhir tahun pertama adalah:
$\begin{alinear}
& 2.000.000 + 2\% \kali 2.000.000 \\=\ & 2.000.000 + \dfrac{2}{100} \kali 2.000.000 \\=\ & 2.000.000 + 40.000 \\=\ & 2.040.000
\end{alinear} $
Modal pada akhir tahun kedua adalah:
$\begin{alinear}
& 2.040.000 + 2\% \kali 2.040.000 \\=\ & 2.040.000 + \dfrac{2}{100} \kali 2.040.000 \\=\ & 2.040.000 + 40.800 \\=\ & 2.080.800
\end{alinear} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp.2,080,800.00$
25. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN 2021
Nilai dari $1+ 2 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2^{3}+ \cdots +2016 \cdot 2^{2015}$ adalah...
$ \begin{alinear}
(A)\ & 2016 \cdot 2^{2015} \\(B)\ & 2016 \cdot 2^{2015} +1 \\(C)\ & 2015 \cdot 2^{2016} \\(D) \ & 2015 \cdot 2^{2016} + 1\\(E)\ & 2016 \cdot 2^{2015} - 1
\end{alinear}$
Diskusi alternatif:
Pola deret bilangan pada soal tidak termasuk deret aritmatika atau deret geometri. Jika kita perhatikan ada dua nomor pola dalam urutannya, yaitu pola $1,2,3, \cdots, 2016$ dan $2^{0},2^{1},2^{2}, \cdots, 2 ^ {2015}$.
Menyelesaikan suatu deret yang tidak termasuk deret aritmatika atau geometri membutuhkan kreativitas atau eksplorasi atau manipulasi aljabar yang tidak bertentangan dengan aturan matematika.
Pada seri sebelumnya, kami mencoba manipulasi aljabar sebagai berikut:
$\begin{alinear}
A =\ & 1+ 2 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2^{3}+ \cdots +2016 \cdot 2^{2015} \\2A=\ & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+4 \cdot 2^{4}+ \cdots +2016 \cdot 2^{2016} \\\hlínea
A-2A =\ & 1 + \kiri( 2 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \kanan) + \kiri( 3 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2^{2} \kanan) + \cdots \\
& \cdots + \left( 2016 \cdot 2^{2015} - 2015 \cdot 2^{2015} \right) + 2016 \cdot 2^{2016} \\-A =\ & 1 + 2 + 2^{ 2} + 2^{3} + \cdots + 2^{2015} - 2016 \cdot 2^{2016} \\-A =\ & \dfrac{1 \cdot \left(2^{2016}-1 \ à direita)}{2-1} - 2016 \cdot 2^{2016} \\-A =\ & 2^{2016}-1 - 2016 \cdot 2^{2016} \\A =\ & -2^ { 2016} + 1 + 2016 \cdot 2^{2016} \\=\ & 2016 \cdot 2^{2016} -2^{2016} + 1 \\=\ & 2^{2016} \left( 2016 - 1 \direita) + 1 \\=\ & 2^{2016} \left( 2015 \direita) + 1 \\=\ & 2015 \cdot 2^{2016} + 1
\end{alinear} $
$\so$ Pilihan yang benar adalah $(D)\ 2015 \cdot 2^{2016} + 1$
26. UM UGM 2019 Kode Soal 634 |*pertanyaan lengkap
Tiga bilangan real $a,b,$ dan $c$ dengan $c \lt a$ membentuk barisan geometri yang jumlahnya -14$ dan hasilnya adalah $216$. Nilai $c$ adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & -2 \\(B)\ & -6 \\(C)\ & -14 \\(D)\ & -18 \\(E)\ & -20\ fin{alinear}$
Diskusi alternatif:
Bilangan real $a,b,$ dan $c$ membentuk garis geometris hingga $b^{2}=a \cdot c$.
Hasil mengalikan ketiga angka tersebut adalah $216$, kita dapatkan:
$\begin{align} abc & = 216 \\b^{3} & = 216 \\b & = 6 \\a \cdot c & = 36 \\\hlinea+b+c & = -14 \\a +6+c & = -14 \\a+ c & = -20 \\a+ \dfrac{36}{a} & = -20 \\a^{2}+ 36 & = -20a \\a^{2 }+20a+36 & = 0 \\\esquerda(a+2\direita)\esquerda(a+18 \direita) & = 0 \\a=-2\ \text{atau}\ a=-18 &\ fin{alinear}$
Untuk $a=-2$ lalu $c=-18$ atau sebaliknya, karena $c \lt a$ lalu $c=-18$.
$\therefore$ Opsi yang sesuai $(D)\ -18$
27. UM UGM 2019 Kode Soal 634 |*pertanyaan lengkap
Jumlah tiga suku pertama deret geometri adalah $91$. Jika suku ketiga negatif $13$, maka ketiga angka tersebut membentuk deret aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 4\ \text{o}\ 43 \\(B)\ & 7\ \text{o}\ 46 \\(C)\ & 10\ \text{o} \ 49 \\(D)\ & 13\ \teks{o}\ 52 \\(E)\ & 16\ \teks{o}\ 55\end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Misalnya, tiga perempat pertama dari garis geometris adalah $a,\,b,\c$, jadi $a+b+c=91$ terjadi
Suku ketiga dikurangi $13$, maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret aritmatika sedemikian sehingga dalam $a,\ ,b,\ c-13$ berlaku:
$\begin{align} 2u_{2} & = u_{1}+u_{2} \\2b & = a+c-13 \\\hline\hlinea+b+c &= 91 \\ a+c & = 91-b \\\hline\hline2b & = 91-b-13 \\ 3b & = 78 \\ b & = 26 \\\end{align}$
Untuk $b=26$ dan $a,\b,\c$ adalah garis geometris sehingga dimungkinkan untuk menulis:
$\begin{align} ac & = b^{2} \\ac & = 26^{2}=676 \\\hlinea+b+c &= 91 \\a+26+c &= 91 \\a+ c &= 65 \\ c &= 65-a \\\hlineac & = 676 \\a \kiri( 65-a \kanan) & = 676 \\65a-a^{2} & = 676 \\ a^ {2}-65a+676 & = 0 \\\esquerda( a-13 \direita)\esquerda( a-52 \direita) & = 0 \\ a=13\ \text{atau}\ a=52 & \ fin{alinear}$
$\therefore$ Opsi yang Sesuai $(D)\ 13\ \text{or}\ 52$
28. UM UGM 2019 Kode Soal 624 |*pertanyaan lengkap
Diketahui bahwa $a,\ \dfrac{1}{a},\ \dfrac{1}{a^{2}+2a},\ a \neq 0$, masing-masing adalah $3$, $4$ dan $5 $ barisan geometri dengan alasan $r \neq 1$. Hasil kali lima suku pertama deret geometri adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 42\frac{5}{8} \\(B)\ & 32\frac{5}{8} \\(C)\ & 32 \\(D)\ & 24\frac{5}{8} \\(E)\ & 24\end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Dari informasi dalam soal, untuk barisan geometri kita memperoleh $u_{3}=ar^{2}=a$, $u_{4}=ar^{3}=\dfrac{1}{a}$, dan $ u_{5}=ar^{4}=\dfrac{1}{a^{2}+2a}$.
Dari sifat-sifat garis geometris kami memperoleh:
$\begin{align} u^{2}_{4} & = u_{3} \cdot u_{5} \\ \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \ & = \left( a \right) \left( \dfrac{1}{a^{2}+2a} \right) \\ \dfrac{1}{a^{2}} \ & = \dfrac{1}{ a+2} \\a+2 \ & = a^{2} \\a^{2}-a-2 \ & = 0 \\\esquerda( a-2 \direita)\esquerda( a+1 \ direita) & = 0 \\a=2\ \text{atau}\ & a=-1\ \text{(TM)} \end{align}$
Untuk $a=2$, diperoleh barisan geometri $u_{3}, u_{4}, u_{5}$ adalah $2,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{8 } $ jadi kita mendapatkan $r=\dfrac{1}{4}$. Hasil kali lima suku pertama adalah $32 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}$ adalah $32$.
$\therefore$ Opsi yang sesuai $(C)\ 32$
29. UM UGM 2019 Kode Soal 624 |*pertanyaan lengkap
Misalnya, $U_{n}$ mewakili suku $n$ dari deret geometri. Jika $U_{3}-U_{2}=6$ dan $U_{4}-U_{2}=18$, maka $U_{5}+U_{3}=\cdots$
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 40 \\(B)\ & 50 \\(C)\ & 60 \\(D)\ & 70 \\(E)\ & 80\end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
$U_{n}$ menyatakan $kuartal garis geometri sehingga kita mendapatkan $U_{2}=ar$, $U_{3}=ar^{2}$ dan $U_{4}=ar^ {3 $
Dari sifat-sifat yang diberikan dalam soal, kita mendapatkan:
$\begin{align} U_{3}-U_{2} & =6 \\ ar^{2}-ar & =6 \\ar \left( r-1 \right) & =6 \\\hlineU_{ 4}-U_{2} & =18 \\ ar^{3}-ar & =18 \\ar \left( r^{2}-1 \right) & =18 \\ar \left( r -1 \kanan)\kiri( r +1 \kanan) & =18 \\6 \kiri( r +1 \kanan) & =18 \\ \kiri( r+1 \kanan) & =3 \\r & = 2 \\\hlineal \left( r-1 \right) & =6 \\a(2) \left( 2-1 \right) & =6 \\2a & =6 \\ a & =3 \end{align ps
Untuk $a=3$ dan $r=2$, maka:
$\begin{align} U_{5}+U_{3} & = ar^{4}+ar^{2} \\& = (3)(2)^{4}+(3)(2)^ {2} \\& = 48+12 =60 \end{align}$
$\therefore$ Opsi yang Sesuai $(C)\ 60$
30. UM UGM 2019 Kode Soal 934 |*pertanyaan lengkap
Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC=\alpha $. Titik $C_{1}$ adalah titik sehingga $\bigtriangleup ACC_{1}$ adalah sudut siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_{1}=\alpha $. Titik $C_{2}$ dipilih sehingga $\bigtriangleup AC_{1}C_{2}$ adalah sudut siku-siku di $C_{1}$ dan $\angle C_{1}AC_{2}=\ alpha$ , dan seterusnya. Panjang $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , adalah barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Nilai dari $\dfrac{a}{r}$ adalah...
$\begin{sejajarkan}(A)\ & 3 \\(B)\ & 4 \\(C)\ & 5 \\(D)\ & 6 \\(E)\ & 7\end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Dalam segitiga persegi panjang $ABC$ kita peroleh $AC=5$, $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AC}= \dfrac{3}{5}$, dan $\cos \alpha = \dfrac{ AB } {AC}= \dfrac{4}{5}$.
Dalam segitiga siku-siku $ACC_{1}$ kita dapat memperoleh:
$\begin{align} \cos \alpha & = \dfrac{AC}{AC_{1}} \\\dfrac{4}{5} & = \dfrac{5}{AC_{1}}\ \longrightarrow AC_ {1} = \dfrac{25}{4} \end{alinear}$
Dalam segitiga siku-siku $AC_{1}C_{2}$ kita memperoleh:
$\begin{align} \cos \alpha & = \dfrac{AC_{1}}{AC_{2}} \\\dfrac{4}{5} & = \dfrac{\frac{25}{4}} {AC_{2}}\ \longrightarrow AC_{2} = \dfrac{125}{16} \end{align}$
Karena $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , adalah suksesi geometris, kita dapat memperoleh $a=AC_{1}=\dfrac{25}{4}$ dan $ r =\dfrac{AC_{2}}{AC_{1}}=\dfrac{\dfrac{125}{16}}{\dfrac{25}{4}}= \dfrac{125}{16}\cdot \ dfrac{4}{25}=\dfrac{5}{4}$.
Hingga nilai $\dfrac{a}{r}=\dfrac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}= \dfrac{25}{4} \cdot \dfrac { 4} {5} = $5.
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(C)\ 5$
31. Kode Soal UM UGM 2019 934 |*pertanyaan lengkap
Diberikan barisan geometri tidak konstan $a,\ b,\ c,\ \cdots$. Jika $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ lalu $6a+7b = \dots$
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 39 \\(B)\ & 30 \\(C)\ & 23 \\(D)\ & 18 \\(E)\ & 8\end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Dari barisan geometri tidak konstan $a,\ b,\ c,\ \cdots$, $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ kita dapat memperoleh:
$\begin{align} u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\b^{2} & = a \cdot c \\ b^{2} \cdot b & = a \cdot c \cdot b \\ b^{3} & = 27\ \longrightarrow b=3 \\ ac & = 9\\\hline9a+b+c &= 33 \\ 9a+3+c &= 33 \\ c &= 30-9a \\\hlineac & = 9 \\a \kiri( 30-9a \kanan) & = 9 \\ 30a -9a^{2} - 9 & = 0 \\ 3a^{ 2} - 10a + 3 & = 0 \\\esquerda(3a - 1 \direita) \esquerda(a -3 \direita) & = 0 \\a=\frac{1}{3}\ \text{atau} \ a=3\ \text{(TM)} &\end{alinear}$
Untuk $a=\frac{1}{3}$ dan $b=3$ lalu $6a+7b=2+21=23$
$\therefore$ Opsi yang sesuai $(C)\ 23$
32. TPS UTBK SBMPTN 2022 |*pertanyaan lengkap
Garis $1,2,y,\cdots$ adalah garis geometris.
Nilai dari $6-y$ adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 2 \\(B)\ & 1 \\(C)\ & 0 \\(D)\ & -1 \\(E)\ & -2 \end{sejajarkan ps
Diskusi alternatif:
Dari baris $1,2,y,\cdots$ kita dapat menulis $U_{1}=1$, $U_{2}=2$ dan $U_{3}=y$. Karena garis tersebut merupakan garis geometris, maka terjadi:
$\begin{align} U_{2}^{2}\ &= U_{1} \cdot U_{3} \\2^{2}\ &= 1 \cdot y \\4\ & = y \\ \hline\text{nilai}\ & 6-y = 6-4 =2 \end{align}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(A)\ 2$
33. TPS UTBK SBMPTN 2022 |*pertanyaan lengkap
Garis $1,2,y,\cdots$ adalah garis geometris.
Jumlah lima suku pertama ditambah satu sama dengan $\dfrac{1}{4}$ kali suku...
$\begin{align} (A)\ & \text{ke}-5 \\(B)\ & \text{ke}-6 \\(C)\ & \text{ke}-7 \\(D )\ & \text{ke}-8 \\(E)\ & \text{ke}-9 \end{align}$
Diskusi alternatif:
Dari baris $1,2,y,\cdots$ kita dapat menulis $U_{1}=1$, $U_{2}=2$ dan $U_{3}=y$. Karena garis tersebut merupakan garis geometris, maka terjadi:
$\begin{align} U_{2}^{2}\ &= U_{1} \cdot U_{3} \\2^{2}\ &= 1 \cdot y \\4\ & = y \end {linear}$
Untuk $y=4$, baris menjadi $1,2,4,8,16,32,\cdots$, sehingga jumlah dari lima kuartal pertama adalah:
$\begin{align} S_{5}\ &= 1+2+4+8+16 \\S_{5}\ &= 31 \end{align}$
Total $S_{5}+1= 31+1=32$, jadi berdasarkan informasi dalam soal kita dapat menulis:
$\begin{align}\dfrac{1}{4}U_{n}\&=32\U_{n}\&=128\\ar^{n-1}\&= 128\\ar^{ n -1}\&= 128\\1\cdot 2^{n-1}\&= 128\\2^{n-1}\&= 2^{7}\\longrightarrow n=8\end{ linier ps
$\therefore$ Pilihan yang benar adalah $(D)\ 8$
34. TPS UTBK SBMPTN 2022 |*pertanyaan lengkap
Garis $1,2,y,\cdots$ adalah garis geometris.
Jika $3,75$ adalah rata-rata dari $n$ suku pertama dari deret tersebut, maka nilai dari $n$ adalah...
$\begin{sejajarkan} (A)\ & 6 \\(B)\ & 5 \\(C)\ & 4 \\(D)\ & 3 \\(E)\ & 2 \end{sejajarkan}$
Diskusi alternatif:
Dari baris $1,2,y,\cdots$ kita dapat menulis $U_{1}=1$, $U_{2}=2$ dan $U_{3}=y$. Karena garis tersebut merupakan garis geometris, maka terjadi:
$\begin{align} U_{2}^{2}\ &= U_{1} \cdot U_{3} \\2^{2}\ &= 1 \cdot y \\4\ & = y \end {linear}$
String $1,2,y,\cdots$ menjadi $1,2,4,\cdots$. Berdasarkan informasi masalah.$3,75$ adalah rata-rata dari $n$ suku pertama deret tersebutmaka kita mendapatkan:
$\begin{align} \bar{x}_{n}\ &= \dfrac{1}{n} \cdot S_{n} \\\bar{x}_{n}\ &= \dfrac{1 {n} \cdot \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\3,75\ &= \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{ 1 \left (2^{n}-1 \right )}{2-1} \\3,75n\ &= 2^{n}-1 \\\dfrac{375}{100}n\ &= 2 ^ {n}-1 \\\dfrac{15}{4}n\ &= 2^{n}-1\ \longrightarrow n=4 \end{align}$
$\therefore$ Opsi yang benar adalah $(C)\ 4$
Jika Anda tidak dapat menanggung lelahnya belajar, maka Anda harus menanggung pahitnya ketidaktahuan.___Pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Geometri dan Deret Linier SMA di atas merupakan urat nadi kreativitas siswa dalam:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- diskusi tes matematika di kelas.
Untuk semua yang perlu kita bahas terkaitSoal dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri SMAtolong kirim 🙏CMIIW😊.
Jangan lupa untuk berbagi 🙏 Berbagi itu peduli 👀 danJADIKAN LUAR BIASA HARI INI! - DENGAN TUHAN, SEMUANYA MUNGKIN😊