olehadministrator
Anda telah mempelajari tiga jenis transformasi, yaitu translasi, refleksi, dan rotasi. Ketiga jenis transformasi ini termasuk transformasi isometrik, yaitu transformasi yang menghasilkan bayangan yang kongruen (sama besar dan kongruen) dengan objek.
Sekarang Anda akan mempelajari transformasi keempat, yaitu pelebaran yang mengubah ukuran (mendekati atau menjauh), tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi bukan transformasi isometrik karena tidak menghasilkan bayangan yang kongruen.
√ Contoh soal dan jawaban deret aritmatika (LENGKAP)
Memahami
Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang memindahkan titik dalam bentuk geometris yang bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi. Akibatnya, gambar bentuk geometris yang melebar diubah ukurannya (mengembang atau menyusut). Demi kesederhanaan, bayangkan bentuk yang melebar itu adalah sebuah mobil yang datang ke arah Anda. Dari kejauhan, mobil itu terlihat kecil. Saat Anda mendekat, mobil terlihat lebih besar, dan saat Anda memperkecil, mobil terlihat lebih kecil lagi. Pelebaran juga bisa dianalogikan dengan memindahkan objek lebih dekat atau lebih jauh dari Anda. Perhatikan gambar di bawah ini
dari titik pusat dilatasi O, yaitu perpotongan antara dinding dan lantai. Tinggi awal lemari (menurut orang yang berdiri) adalah 1m. Pada gambar (b), lemari bergerak menuju orang yang berjarak 2 m. Jarak antara kabinet dan titik tengah diperluas menjadi 4m atau 2 kali lipat dari posisi awal. Lemari terlihat lebih besar. Tinggi lemari menjadi 2 m atau 2 m dari tinggi awal.
Oleh karena itu, kabinet dikatakan berdilatasi dengan titik pusat 0 dan faktor pemuaian 2. Demikian juga kabinet digeser ke kiri hingga 1 m dari posisi awalnya. Jarak antara kabinet dan titik pusat diperlebar
√ Hukum kesetimbangan kimia: definisi, faktor dan contoh
Apa yang dimaksud dengan faktor ekspansi? Faktor dilatasi adalah perbandingan jarak bayangan dari pusat dilatasi dengan jarak dari titik awal ke pusat dilatasi.
Asumsikan bahwa k adalah faktor ekspansi, maka berlaku hubungan berikut.
- jika k>1, maka bayangannya diperbesar dan secara unilateral berada di tengah dilatasi dan trail.
- e 0
Blog Koma– Setelah mempelajari materi “Terjemahan dalam transformasi geometri”, pada artikel ini kita akan melanjutkan pembahasan salah satu jenis transformasi geometri yaituDilatasi dalam Transformasi Geometri. Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu benda tetapi mempertahankan bentuk benda tersebut. Beberapa contoh daripelebaranyaitu: miniatur mobil yang ukurannya lebih kecil dari ukuran mobil sebenarnya, cetakan foto klise (layar kamera) yang diperbesar dan lain-lain.
Proses perubahan ukuran suatu benda dari kecil menjadi lebih besar (diperbesar) atau sebaliknya yaitu dari besar menjadi lebih kecil (diperkecil) disebut dilatasi.Dilatasi dalam transformasi geometrismenyebabkan ukuran benda berubah. Faktor yang menyebabkan suatu bentuk membesar atau mengecil disebut faktor pelebaran atau faktor skala atau faktor perkalian. Faktor skala ini biasanya dilambangkan dengan $k$.
Memperbesar atau memperkecil angka dipelebaranmembutuhkan titik referensi yang biasa kita sebut titik pusat. Artinya bagi kami sudah ada acuan yang jelas agar anda bisa mendapatkan ukuran yang lebih besar atau lebih kecil. Kami melambangkan titik pusat sebagai titik $ P(a,b)$. Titik pusat dilatasi dibagi menjadi dua, yaitu titik pusat $P(0,0)$ dan titik pusat bukan $(0,0)$, yaitu $P(a,b)$ .
(Video) Transformasi Geometri Matematika SMA - Dilatasi
sosok yang berubah bentuk berdasarkan faktor skala $k$.Sifat dilatasi dalam transformasi geometri
Pelebaranmenyebabkan ukuran suatu bentuk berubah, kecuali faktor skala $k = 1$ yang ukurannya sama. Perhatikan gambar di atas, perubahan besar kecilnya bentuk dipengaruhi oleh besarnya faktor skala $k$ yang terbagi menjadi beberapa bagian yaitu:
Hai). Jika $k > 1$, maka bentuknya akan melebar dan terletak searah dengan pusat dilatasi dengan bentuk aslinya, tampak seperti gambar berwarna hijau. ii). Jika $k = 1$ maka bentuknya tidak berubah ukuran atau letaknya, terlihat seperti gambar biru (gambar asli/asli). aku aku aku). Jika $0 < k < $1 maka bentuknya akan mengecil dan searah dengan pusat dilatasi dengan bentuk aslinya, tampak seperti gambar berwarna kuning. 4). Jika $ -1 < k < 0 $ maka bentuknya akan mengecil dan berlawanan arah dengan pusat pelebaran dengan bentuk aslinya, tampak seperti gambar berwarna abu-abu. v). Jika $k = -1$ maka bentuknya tidak berubah ukuran dan letaknya berseberangan dengan pusat pemuaian dengan bentuk aslinya, tampak seperti gambar merah.pegunungan). Jika k < – 1, bentuknya direntangkan dan terletak berlawanan arah dengan pusat dilatasi.
dengan bangun, sepertinya gambar oranye.simbol skrip pelebaran
(Video) Pembahasan Soal-soal Ujian SMK Kelas XIITerkadang kata dilatasi tidak dituliskan dalam soal tetapi menggunakan simbol; jika kita memahami simbol-simbolnya, akan sulit bagi kita untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini walaupun kita tahu bagaimana melakukannya. Simbol berikut mewakili dilatasi, yaitu: 1). Simbol D[O,$k$] berarti dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala $k$. dua). Simbol D[P($a,b),k$]
berarti dilatasi dengan pusat ($a,b$) dan faktor skala $k$.
Contoh soal dilatasi: 1). Tulislah lambang dilatasi pada pernyataan berikut dan tentukan jenis perubahan besarnya: a). Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2. b). Dilatasi dengan pusat ($-2,3$) dan faktor skala $ -\frac{2}{3} $ Solusi: a). Simbolnya adalah: D[O,$k$] = D[O,2]. Bentuknya melebar dan searah karena $k = 2$. B). Simbolnya adalah: D[P($a,b),k$] = D[P($-2,3), -\frac{2}{3}$]. Bentuknya dikontrak dan dibalik karena $ k = -\frac{2}{3} $. dua). Tuliskan arti dari simbol dilatasi berikut. untuk). D[O,$-3$] , b). D[P(2,1), 5]. Kesimpulan: a). D[O,$-3$] , berarti dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala $ – 3 $. B). D[P(2,1), 5]. berarti dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 5.
Cara Menghitung Ekspansi
Setiap jenis proses perhitungan transformasi geometri dapat diubah dalam bentuk matriks transformasi geometri. Dilatasi dengan faktor skala $ k $ memiliki matriks transformasi yaitu $ M = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $. Untuk perhitungannya, kami membaginya menjadi dua tergantung pada titik pusatnya: i). Titik pusat (0,0) : $ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 &k \end{array} \kanan)
\left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz} \right) $ ii). Titik pusat P($a,b$) : $ \left( \begin{matriz} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matriz} \right) = \left( \begin{matriz } k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \kanan)
\left( \begin{matriz} x – a \\ y – b \end{matriz} \right) $ atau$ \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matriz} x – a \\ y – b \end{matriz} \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) $(Video) Pembahasan Soal Ujian Sekolah SMP Matematika 2021 | Part 2Catatan: Cara perhitungan ini sesuai dengan rumus umum transformasi geometri, yaitu: bayangan = matriks transformasi awal $ \times $. Contoh soal: 3). Tentukan bayangan dari setiap titik berikut: a). Titik A(2,3) direntangkan dengan titik pusat menjadi koordinat pusat dan faktor skala $ -2$. B). Titik B ($-1,1$) dilebarkan dengan faktor skala 3 dan relatif terhadap titik ($-2,5$). W). Titik C(1,5) dengan D[0,7]. D). Poin D($4, – $1) dikali D[P(1,2,3]. Kesimpulan: a). Titik A(2,3) direntangkan dengan titik pusat menjadi koordinat pusat dan faktor skala $ -2$. *). Faktor skala $ – 2 $ berarti $ k = -2 $, Matriksnya adalah: $ M = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $ * ). Tentukan bayangan titik A(2,3): $ \begin{align}
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz} \right) \\ & = \left( \begin{matriz} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matriz} \right) \left( \begin{matriz} 2 \\ 3 \end{matriz} \right) \\ & = \left( \begin{matriz} -4 \\ -6 \end{matriz} \right)
\end{align} $ Jadi bayangan titik A adalah $ A^\prime (-4,-6) . \,\hati $. B). Titik B ($-1,1$) dilebarkan dengan faktor skala 3 dan relatif terhadap titik ($-2,5$). *). Faktor skala $ 3 $ berarti $ k = 3 $, Matriksnya adalah: $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $ dan titik tengah : $(a,b) = (-2,5)$. *). Tentukan bayangan titik B($-1.1$): $ \begin{align}
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \ izquierda( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 – (-2) \\ 1 – 5 \end{matrix} \right ) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right ) \left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left ( \begin{matrix} 3 \\ -12 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin {matrix} 1 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi bayangan titik B adalah $ B^\prime (1,-7) . \, \corazón $. W). Titik C(1,5) dengan D[0,7]. *). Faktor skala $ 7 $ berarti $ k = 7 $, Matriksnya adalah: $ M = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $ dan titik pusatnya adalah (0,0). *). Menentukan bayangan titik C(1,5): $ \begin{align}
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \left ( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \direita) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 \\ 35 \end{matrix} \direita)
\end{align} $ Jadi bayangan titik C adalah $ C^\prime (7.35) . \,\hati $. D). Poin D($4, – $1) dikali D[P(1,2,3]. *). Faktor skala $ 3 $ berarti $ k = 3 $, Matriksnya adalah: $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $ dan titik tengah : $(a,b) = (1,2)$. *). Tentukan bayangan titik D($4, – 1$): $ \begin{align}
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \ kiri( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4-1 \\ -1-2 \end{matrix} \right) + \ kiri( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix } 9 \\ -9 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 10 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi bayangan titik D adalah $ D^\prime (10,-7) . \,\hati $. 4). Tentukan bayangan persamaan $4x + 3y – 5 = $0 dengan dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0)! Kesimpulan: *). Untuk menemukan persamaan bayangan, kita mengubah bentuk awal ($x,y$) menjadi bayangan ($x^\prime , y^\prime $). $ \begin{sejajarkan}
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left ( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \direita) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \direita) & = \left ( \begin{matrix} 2x \\ 2y \end{matrix} \right) \end{align} $ Kita mendapat : $ x^\prime = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2} x^\prime $ $ y^\prime = 2y \rightarrow y = \frac{1}{2} y^\prime $ *). Substituikan bentuk $ x = \frac{1}{2} x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{2} y^\prime $ ke persamaan awal : $ \begin{align}
4x + 3a – 5 & = 0 \\
4. (\frac{1}{2} x^\prime ) + 3.(\frac{1}{2} y^\prime ) – 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text {(kali 2)} \\
4x^\prime + 3 y^\prime – 10 & = 0 \end{align} $ jadi bayangannya adalah $4x^\prime + 3 y^\prime – 10 = 0 $ atau $4x + 3y – 10 = 0 ps Jadi persamaan bayangannya adalah $4x + 3y – 10 = 0. \, \heart $. 5). Sebuah lingkaran $ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 $ dilebarkan oleh D[P(1,4),$\frac{1}{2}$]. Tentukan persamaan bayangan dan luas bayangan lingkaran? Kesimpulan: *). Faktor skalanya adalah $ k = \frac{1}{2} $ dan titik pusatnya adalah $(a,b) = (1,4)$ *). Tentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $): $ \begin{align}
\left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end {matrix} \direita) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \fim{matrix} \direita) \\
\left( \begin{matrix} x^\prime – 1 \\ y^\prime – 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \direita) \left( \begin{matrix} x – 1 \\ y – 4 \end{matrix} \direita) \\
\left( \begin{matrix} x^\prime – 1 \\ y^\prime – 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(x – 1) \\ \frac{1}{2}(y – 4) \end{matrix} \right) \end{align} $ Kita dapat : $ x^\prime – 1 = \frac{1}{2 }(x – 1) \rightarrow x – 1 = 2(x^\prime -1) \rightarrow x = 2x^\prime -1 $ $ y^\prime – 4 = \frac{1}{2}(y – 4) \panah kanan y – 4 = 2(y^\prime -4) \panah kanan y = 2y^\prime – 4 $ *). Kita substitusi ke persamaan awalnya : $ \begin{align}
(x-3)^2 + (y+2)^2 & = 16 \\
( 2x^\prime -1 -3)^2 + ( 2y^\prime – 4+2)^2 & = 16 \\
( 2x^\prime -4)^2 + ( 2y^\prime – 2)^2 & = 16 \\
[2(x^\prime -2)]^2 + [ 2(y^\prime – 1)]^2 & = 16 \\
4(x^\prime -2)^2 + 4(y^\prime – 1)^2 & = 16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\
(x^\prime -2)^2 + (y^\prime – 1)^2 & = 4 \end{align} $ Jadi persamaan bayangan lingkarannya adalah $ (x-2)^2 + ( y - 1)^2 = $4. radius: $ r^2 = 4 \panah kanan r = 2 $. *). Tentukan luas bayangan: Luas $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4\pi \, $ satuan luas. Jadi luas gambarnya adalah $4 \pi $ satuan luas. $\,\setelan hati$. Metode II untuk soal nomor 5. *). Persamaan lingkaran awal: $ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $. Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . 4^2 = 16\pi $ *). Tentukan luas bayangan: $ \begin{align}
\text{area bayangan} & = det{M} \times \text{area awal} \\
& = \kiri| \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right| \kali 16\pi \\
& = \left( \frac{1}{2} . \frac{1}{2} – 0.0 \right) \times 16\pi \\
& = \frac{1}{4} \kali 16\pi \\
& = 4\pi \end{align} $ Jadi luas gambar adalah $ 4 \pi $ satuan luas. $\,\setelan hati$. 6). Persamaan parabola memiliki gambaran $y = 2x^2 – 3x + 1$ per dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (0,5). Tentukan persamaan awal dari persamaan parabola!. Kesimpulan: *). Faktor skala $k = 2$ dan titik pusat $(a,b) = (0.5)$. persamaan bayangan: $ y = 2x^2 – 3x + 1 \, $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime}^2 – 3x^\prime + 1 $ diminta untuk persamaan awal? *). Hubungan titik awal ($x,y$) dan bayangan ($x^\prime , y^\prime $): $ \begin{align}
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} k & 0 \\ 0 & k \end{matriz} \ lahir)
\left( \begin{matriz} x – a \\ y – b \end{matriz} \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \ ledakan)
\left( \begin{matriz} x – 0 \\ y – 5 \end{matriz} \right) + \left( \begin{matriz} 0 \\ 5 \end{matriz} \right) \\
\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} 2x \\ 2y – 10 \end{matriz} \right) + \left( \begin{matriz} 0 \\ 5 \end{matriz} \right) \\
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y – 5 \end{matrix} \right) \end{align} $ Dapatkan: $ x^\prime = 2x \, $y $y^\prime = 2y – 5 $ *). Masukkan bentuk $ x^\prime = 2x \, $ y $ y^\prime = 2y – 5 $ ke dalam persamaan bayangan untuk mendapatkan persamaan awal. $\begin{sejajarkan}
y^\prime & = 2{x^\prime}^2 – 3x^\prime + 1 \\
2y – 5 & = 2(2x)^2 – 3(2x) + 1 \\
2y – 5 & = 8x^2 – 6x + 1 \\
2y & = 8x^2 – 6x + 1 + 5 \\
2y & = 8x^2 – 6x + 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\
y & = 4x^2 – 3x + 3 \end{align} $ Jadi persamaan awal fungsi parabolanya adalah $ y = 4x^2 – 3x + 3 . \,\hati $.Demikian pembahasan materiDilatasi dalam Transformasi Geometridan contoh Baca juga materi lain yang berkaitan dengan "rotasi dalam transformasi geometri".