Terjemahan Transformasi Geometri (2023)

Blog Koma- Setelah membahas materi"Matriks Transformasi GeometriPada artikel sebelumnya kita melanjutkan pembahasan tentang jenis transformasi geometri yang pertama yaituterjemahan gilirandengan artikel berjudulTerjemahan tentang Transformasi Geometri. Terjemahan memiliki arti perubahan atau perpindahan. Contoh penggunaan terjemahan dalam kehidupan adalah posisi duduk siswa dalam kelas yang berpindah-pindah setiap periode tertentu, permainan catur, gerakan paskibraka dan lain-lain.

terjemahan ke dalamtransformasi geometriadalah perpindahan untuk memindahkan suatu benda (biasanya berupa titik, kurva, bentuk datar, dan sebagainya) dengan jarak dan arah tertentu. Misalnya kita ingin memindahkan suatu titik dari posisi A ke posisi B, maka terjadi pergeseran $a$ satuan ke arah horizontal dan $b$ satuan ke arah vertikal. Oleh karena itu, matriks transformasi untuk tipeterjemahankita dapat menulis: $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ .

Untuk memudahkan mempelajari materi.Terjemahan tentang Transformasi Geometriini, kita harus menguasainyabahan matriksterutama dulu."operasi penjumlahan dan pengurangan dalam matriksUntuk penjelasan cara menghitung translasi mari kita simak langsung pembahasan berikut ini.

Contoh soal translasi dalam transformasi geometri:

1). Cari bayangan titik A(2,-5) jika diterjemahkan dengan matriks $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $

Larutan:
*). Tentukan bayangan titik A(2,-5):
$ \begin{align} \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \kanan) + \kiri( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} 2 \\ -5 \end{matriz} \kanan) + \left( \begin{matriz} -1 \\ 3 \end{matriz} \right) \\ & = \left( \begin{matriz} 2 + (-1) \\ -5 + 3 \end{matriz } \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} 1 \\ -2 \end{matriz} \kanan) \end{align} $
Jadi bayangan titik A adalah $A^\prime(1,-2). \,\hati$

dua). Sebuah objek terletak pada posisi dengan koordinat ($-3.1$), sehingga objek bergerak vertikal ke bawah sebanyak 2 unit dan terus ke kanan secara horizontal sebanyak 4 unit. Tentukan koordinat posisi akhir benda!

Larutan:
*). Tentukan matriks translasi
objek bergerak:
mendatar ke kanan (4 satuan) $ \rightarrow a = 4 $
vertikal ke bawah (2 unit) $ \rightarrow b = -2 $
Matriks translasinya : $ T = \left( \begin{matriz} 4 \\ -2 \end{matriz} \right) $
Nilai:
arah kanan dan atas positif,
arah kiri dan bawah negatif,
*). Menentukan posisi akhir sama dengan menentukan citra setelah translasi.
$ \begin{align} \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \kanan) + \kiri( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} -3 \\ 1 \end{matriz} \kanan) + \left( \begin{matriz} 4 \\ -2 \end{matriz} \right) \\ & = \left( \begin{matriz} -3 + 4 \\ 1 + (-2) \end{matriz } \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} 1 \\ -1 \end{matriz} \kanan) \end{align} $
Oleh karena itu, posisi titik akhir objek adalah $(1,-1). \,\hati$

3). Terjemahkan $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ tetapkan titik $A(7, - 1) $ a $ A^\prime (2, -3 )$ .
untuk). Tentukan matriks translasi,
B). Tentukan bayangan segitiga ABC dengan simpul A(1,3), B(-4,2) dan C(-1,-5) dengan translasi,
W). Temukan luas bayangan segitiga.

Larutan:
untuk). Tentukan matriks translasi:
titik awal: A(7,-1)
ke bayangan : $ A^\prime (2,-3) $.
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \kanan) + \kiri( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \kanan) \\ \kiri( \begin{matriz} 2 \\ -3 \end{matriz} \kanan) & = \left( \begin{matriz} 7 \\ -1 \end{matriz} \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{ matriz} 2 \\ -3 \end{matriz} \right) - \left( \begin{matriz} 7 \\ -1 \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} 2 - 7 \\ -3 - (-1) \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} -5 \\ -2 \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} a \\ b \ end{matriz} \right) \end{align} $
Jadi matriks terjemahannya adalah $ T = \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) $

B). Tentukan bayangan segitiga dengan
titik A(1,3),
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x + a \\ y + b \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} 1 + (-5) \\ 3 + (-2) \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri( \ mulai{matriz} -4 \\ 1 \end{matriz} \right) \end{align} $
titik B(-4.2),
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x + a \\ y + b \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} -4 + (-5) \\ 2 + (-2) \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri( \begin{matriz} -9 \\ 0 \end{matriz} \right) \end{align} $
titik C(-1,-5),
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x + a \\ y + b \end{matriz} \direita) \\ & = \kiri( \begin{matriz} -1 + (-5) \\ -5 + (-2) \end{matriz} \kanan) \\ & = \kiri ( \begin{matriz} -6 \\ -7 \end{matriz} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan segitiga ABC adalah $A^\prime (-4.1), \, B^\prime (-9.0), \, $, dan $ C^\prime (-6,-7) $ .

W). Menurut sifat (i) pada terjemahan di atas, bentuk dan ukuran segitiga tidak berubah, sehingga luas bayangannya sama dengan luas segitiga aslinya. Mari kita periksa kebenarannya dengan menghitung luas awal dan luas bayangan.
*). Luas awal segitiga ABC dengan simpul A(1,3), B(-4,2) dan C(-1,-5):
$\begin{align}\text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{matriz} \\& = \frac{1}{2} \begin{matriz}{c|ccc|c} & 1 & -4 & -1 & 1 \\ & 3 & 2 & -5 & 3 \end{matriz} \\& = \frac{1}{2}[(1,2 + (-4).(-5) + (-1).3 ) - ((-4).3 + ( -1).2+1.(-5))] \\& = \frac{1}{2}[(2 + 20 + (-3) ) - ((-12) + (-2) + ( -5))] \\& = \frac{1}{2}[(19 ) - (-19)] \\& = \frac{1}{2}[38] \\& = 19\ fim{ linear} $
jadi luas segitiga awal adalah 19 satuan luas.
*). Luas segitiga ABC yang diarsir dengan simpul $A^\prime (-4.1), \, B^\prime (-9.0), \, $, dan $ C^\prime (-6.- 7 ps
$\begin{align}\text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{matriz} \\& = \frac{1}{2} \begin{matriz}{c|ccc|c} & -4 & -9 & -6 & -4 \\ & 1 & 0 & -7 & 1 \end{matriz} \\& = \frac{1}{2}[((-4).0 + (-9).(-7)+(-6).1 ) - (( -9).1+(-6).0+(-4).(-7))] \\& = \frac{1}{2}[(0 + 63 + (-6) ) - (( -9)+0+28)] \\& = \frac{1}{2}[( 57 ) - (19)] \\& = \frac{1}{2}[38] \\& = 19 \end{alinear} $
Jadi, luas bayangan segitiga adalah 19 satuan luas.
Dengan demikian, dapat disimpulkan dengan benar bahwa luas gambar sama dengan luas awal saat kita terjemahkan menurut properti (i).

4). Temukan gambar parabola $ y = x^2 - 5x + 1 $ jika diterjemahkan menjadi $ T = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) $!

Larutan:
*). Saat persamaan atau fungsi diubah, yang kita ubah adalah titik $(x,y)$, jadi kita ubah ke bentuk $x^\prime $ y $y^\prime $.
*). Proses penerjemahan:
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \ kiri( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \ esquerda( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz} \direita) \\ \left( \begin{matriz} x^\prime - (-4) \\ y^\prime - 1 \end{matriz } \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} x^\prime + 4 \\ y^\prime - 1 \end{matriz} \direita) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz} \direita) \end{alinhar} $
Mari kita dapatkan: $ x = x^\prime + 4 \, $ y $ y = y^\prime - 1 $.
Kami akan mengganti bentuk ini ke dalam persamaan kurva awal untuk mendapatkan persamaan gambar.
*). Gantikan bentuk $ x = x^\prime + 4 \, $ y $ y = y^\prime - 1 $ ke dalam persamaan awal
$ \begin{align}y & = x^2 - 5x + 1 \\y^\prime - 1 & = (x^\prime + 4)^2 - 5(x^\prime + 4) + 1 \\ y^\prime - 1 & = {x^\prime}^2 + 8 x^\prime + 16 - 5x^\prime -20 + 1 \\y^\prime - 1 & = {x^\prime}^ 2 + 3 x^\prime - 3 \\y^\prime & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 2 \end{align} $
Jadi kita mendapatkan persamaan gambar yaitu $y^\prime = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 2 $
Jadi persamaan bayangannya adalah $y = x^2 + 3x - 2 . \,\hati$

5). Persamaan linear $2x + 3y = 5 $ diterjemahkan menjadi $T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) $ untuk menghasilkan bayangan sebesar $2x + 3y = 9 ps Tentukan matriks terjemahan!

Larutan:
*). Tentang masalah umum:
persamaan awal: $2x + 3y = $5
persamaan bayangan: $2x + 3y = $9 atau $2x^\prime + 3y^\prime = $9
*). Kami menentukan hubungan antara $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses penerjemahan:
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz} \right) + \left( \begin{matriz} a \\ 2 \end{matriz} \right) \\ \left ( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x + a \\ y + 2 \end{matriz} \right) \end{alinear} $
Kita memperoleh : $ x^\prime = x + a $ give $y^\prime = y + 2 $.
*). Kita masukkan bentuk $ x^\prime = x + a $ y $ y^\prime = y + 2 $ ke dalam persamaan gambar untuk mendapatkan persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align}2x^\prime + 3y^\prime & = 9 \\2(x+a) + 3(y + 2) & = 9 \\2x + 2a + 3y + 6 & = 9 \\ 2x + 3y & = 9 - 6 - 2a \\2x + 3y & = 3 - 2a \end{align} $
diperoleh persamaan awal yaitu $2x + 3y = 3 - 2a$ yang bentuknya sama dengan $2x + 3y = 5$, jadi seharusnya menjadi:
$ 3 - 2a = 5 \rightarrow -2a = 2 \rightarrow a = -1$.
*). Matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matriz} a \\ 2 \end{matriz} \right) = \left( \begin{matriz} -1 \\ 2 \end{matriz} \right) $
Jadi matriksnya adalah $ T = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) . \,\hati$

6). Fungsi kuadrat $ y = 2x^2 - x + 1 $ diterjemahkan menjadi matriks $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, yang menghasilkan gambar $y = 2x^2 - 5x + 3$. Tentukan nilai dari $2a + 3b$?

Larutan:
*). Untuk menentukan nilai $2a + 3b$, terlebih dahulu kita harus menentukan matriks konversinya.
*). Tentang masalah umum:
Persamaan awal: $ y = 2x^2 - x + 1 $
persamaan bayangan: $ y = 2x^2 - 5x + 3 $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime} ^2 - 5x^\prime + 3 $
*). Kami menentukan hubungan antara $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses penerjemahan:
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \kanan) & = \kiri( \begin{matriz} x + a \\ y + b \end{matriz} \kanan) \end{align} $
Mari kita dapatkan: $ x^\prime = x + a $ y $ y^\prime = y + b $.
*). Kami memasukkan bentuk $ x^\prime = x + a $ y $ y^\prime = y + b $ ke dalam persamaan bayangan untuk mendapatkan persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align}y^\prime & = 2{x^\prime} ^2 - 5x^\prime + 3 \\ ( y + b) & = 2( x + a) ^2 - 5( x + a) + 3 \\ ( y + b) & = 2( x^2 + 2ax + a^2) - 5x - 5 a + 3 \\ ( y + b) & = 2x^2 + 4ax + 2a^2 - 5x - 5 a + 3 \\ y & = 2x^2 + (4a - 5)x + (2a^2 - 5 a + 3 - b )\end{alinear} $
kita mendapatkan persamaan awal yaitu $ y = 2x^2 + (4a - 5)x + (2a^2 - 5 a + 3 - b ) $ yang bentuknya sama dengan $ y = 2x^2 - x + 1 $ , maka seharusnya:
Pertama, koefisien $x$ adalah sama, yaitu:
$ 4a - 5 = -1 \rightarrow 4a = 4 \rightarrow a = 1 $.
Kedua, konstantanya sama:
$ \begin{align}(2a^2 - 5 a + 3 - b ) & = 1 \\(2.1^2 - 5.1 + 3 - b ) & = 1 \\(2 - 5 + 3 - b ) & = 1 \\ - b & = 1 \\ b & = -1 \end{align} $
Jadi matriks terjemahannya adalah $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \ benar) $
*). Tentukan nilai $ 2a + 3b $:
$2a + 3b = 2,1 + 3. (-1) = 2 + (-3) = -1 $.
Jadi, nilai $2a + 3b = -1 . \, \corazón $.

7). Matriks terjemahan $T = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $ menerjemahkan persamaan $x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $ ke $x ^ 2 + y^2 + 3xy + 2px + (pq)y + r = $0. Tentukan nilai dari $p + q + r $?

Larutan:
*). dikenal:
persamaan awal: $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $
persamaan bayangan: $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $
*). Kami menentukan hubungan antara $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses penerjemahan:
$ \begin{align}\left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matriz} x \\ y \end{matriz } \right) + \left( \begin{matriz} a \\ b \end{matriz} \right) \\ \left( \begin{matriz} x^\prime \\ y^\prime \end{matriz} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \ kiri( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right ) \end{sejajarkan} $
Mari kita dapatkan: $ x = x^\prime - $2 dan $ y = y^\prime + $2.
*). Kami mengganti bentuk $ x = x^\prime - 2 $y $ y = y^\prime + 2 $ ke dalam persamaan awal untuk mendapatkan persamaan gambar (bentuknya sama dengan persamaan gambar terkenal dalam soal ).
$ \begin{align}x^2 + y^2 + 3xy + 1 & = 0 \\(x^\prime - 2)^2 + (y^\prime + 2)^2 + 3(x^\prime - 2)(y^\prime + 2) + 1 & = 0 \\{x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 3x^\prime y^\prime + 2x^\prime - 2y^\prime - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{ (atau)} \\x^2 + y^2 + 3xy + 2x - 2y - 3 & = 0 \end{align} $
kita dapatkan persamaan bayangan yaitu $ x^2 + y^2 + 3xy + 2x - 2y - 3 = 0 $ yang bentuknya sama dengan $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q) y + r = 0$ , jadi seharusnya:
$ 2p = 2 \panah kanan p = 1 $
$ (p-q) = -2 \rightarrow 1 - q = - 2 \rightarrow q = 3 $
$ r = -3 $.
*). Tentukan hasilnya $ p + q + r $ :
$ p + q + r = 1 + 3 + (-3) = 1 $.
Oleh karena itu, nilai dari $p + q + r = 1 . \,\hati$

Demikian pembahasan materiTerjemahan tentang Transformasi Geometridan contoh Baca juga materi terkait lainnyaDilatasi dalam Transformasi Geometrik.